中学2年生で勉強する確率を1本の動画にまとめてみました。 - Duration: 46:46.
赤玉5個と白玉7個入った袋から、玉を1個ずつ3個取り出す。ただし、取り出した玉はもとに戻さない。このとき、取り出した玉がすべて赤玉である確率を求めよ。教えて欲しいです！途中式も。 - その他（学校・勉強） [解決済 - 2017/12/07] | 教えて！goo 上野竜生です。前回，サイコロを投げる確率を扱いました。今回は確率の中でも箱から玉を取り出す問題に絞って紹介していきます。取り出した玉を元に戻すか戻さないかが大事問題文に書かれています。どう考えるのかというと・元に戻す→毎回箱の中は同じ・元に
＜練習問題＞ 袋の中に、それぞれ色の異なる赤、青、黄、白、黒の5色の玉が2つずつ （計10個）入っている。この袋の中から、玉を4個を取り出すとき、2色とも そろっている確率は、次のうちどれか。 （ただし、取り出した玉は戻さないものとする。 $$\text{両方の玉が黒になる確率} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$$ です。 よって、問題②の答えは、\(\frac{1}{15}\)となります。 では、袋に玉を戻さない場合の確率と比べてみましょう。 それぞれは、以下のような確率になります。 \begin{align} 問題. 条件付き確率の問題です。赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。 初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。c(コンビネーション)を使ったや まずは確率の基本的な考え方から学んでいきましょう。ある事象Aがおこる確率をPとするとその値は、P(A)と表すことができます。P(A) = 事象Aが起こる確率 P(A)の求める公式は以下になります。P(A) = \frac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}言葉の定義だけだと分かりづらいですよね。以下では実際の問題を解きながら、この公式が意味するところを丁寧に説明していきます。 確率の問題は、公式に当てはめれば解 … 袋の中に、それぞれ色の異なる赤、青、黄、白、黒の5色の玉が2つずつ （計10個）入っている。この袋の中から、玉を4個を取り出すとき、2色とも そろっている確率は、次のうちどれか。 （ただし、取り出した玉は戻さないものとする。 $${}_2C_1=\frac{2}{1}=2\text{通り}$$これで、1,2,3回目のそれぞれの確率について求め終わりました。ここでいう”同時に起こる”とは、二つの玉を引いたときに一つが赤い玉、もう一つが白い玉であるというように一つの条件となっているということです。5個の中に白玉は2個入っているので、2個目の玉が白玉である確率は3個の玉を同時にとるとき、赤玉2個と白玉1個が出る確率を求めよ。その中に赤玉は3個入っているので、1個目の玉が赤玉である確率は\(\frac{3}{5}\)となります。知っていると知らないでは普段の生活での損得にも影響するので、しっかりと学んでほしい分野でもあります。$$\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$$まずは、玉を同時にとる場合です。これは、ここまで見てきたものと同じですね。$$\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$$次に、分母には\(5\)を\(1\)ずつ減らしながら掛け算してきます。まず、分数を考えます。そして、その分母に\(3\)を\(1\)ずつ減らしながら、\(1\)になるまで掛け算しましょう。$$\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{12}{125}$$3個目の玉を取り出すとき、1,2個目の玉は袋に戻してあるので、袋には玉が5個入っています。この袋から玉を取り出す全ての場合の数は3になりますよね。つまり、$${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$よって、8個の玉が入っている袋から3個の玉を取り出すときそれが赤玉である確率は\(\frac{3}{8}\)になります。$$\text{2個目の玉が赤玉である確率} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$では、組み合わせ\(_nC_r\)(コンビネーション)を使った問題に移ります。もっとたくさんの問題がテストでは出題されますが、まずはここで説明したことをしっかりと理解することから始めましょう。問題１．3個の玉を同時にとるとき、赤玉2個と白玉1個が出る確率を求めよ。以下では実際の問題を解きながら、この公式が意味するところを丁寧に説明していきます。$$\text{3個目の玉が白玉である確率} = \frac{2}{5}$$球を取り出したら赤玉である場合の数は1です。赤玉は1個しか入っていませんからね。数学は面白いこと、不思議なことがいっぱい！数学に関する不思議なことや面白いことを、数学が苦手な人にもわかるように丁寧に紹介しています。数学や数字が好きになってくれたらうれしいです！取り出した玉が赤玉2個、白玉を1個である場合を考えるには、二つの事象の場合の数を掛け算しますので、このページは、このような人へ向けた内容となっています 三角比を使った三角形の面積 ...この記事ではこんなことを紹介しています 余弦定理の公式 \begin{align ...例題3、の一部7C2と4C2がぎゃくになってますよ！！気をつけて！3個目の玉が白玉である確率は、\(\frac{2}{3}\)となります。$$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$$$$\text{7個から2個の玉を取り出す全ての場合の数} = {}_7C_2$$$${}_5C_3 =\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10\text{通り}$$前と同じような問題ですが、順番が関係してくるので違う考え方が必要になります。1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率を求めよ。$$P = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$$ここでの内容は、こんな人へ向けて書いています 余弦定理の公式がなかなか覚えられな ...この「赤玉を取り出す場合」というのが、公式の「事象A」に対応します。このように、3個の玉が入っている袋から1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率は\(\frac{1}{3}\)になりました。この袋から1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。$$\text{1個目の玉が赤玉である確率} = \frac{3}{5}$$テスト前にこの記事に出会えて良かった！ありがとうございます！アンチコメは気にせずがんばってください！これによって、解き方がどのように変わるかを注意して進めましょう。このページでは、確率でよく題材にされる玉の確率問題を取り上げ、問題のパターンに慣れてもらうことを目標とします。次に、取り出した玉が赤玉2個、白玉を1個である場合を考えましょう。$${}_3C_2=\frac{3 \times 2}{2 \times 1}=3\text{通り}$$$$P = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ここで注意する点は、袋の中に白玉は2個だけしか入っていないということです。$${}_3C_1 \times {}_4C_1 = 3 \times 4 = 12$$$$\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$$問題２．1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率を求めよ。$$P(A) = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{1}{3}$$$$P(A) = \frac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}$$$$P(A) = \frac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{1}{3}$$その中に赤玉は2個入っているので、2個目の玉が赤玉である確率は、\(\frac{2}{4}\)となります。よって、「1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率」は、そこから玉を2個取り出すので、全ての場合の数は例題③と同じく21通りになります。$${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$ここではこんなことを紹介しています↓ 「微分」とは何なのかを丁寧に説明します。微 ...テストで確率の問題に玉が出てきたときは、ここで学んだことを思い出してくださいね。白玉はそのうち2個入っているので、3個目の玉が白玉である確率は\(\frac{2}{5}\)となります。コンビネーション\({}_nC_r\)の計算は、以下のようにしてできます。袋から玉を2個取り出すとき、取り出した玉が赤玉と白玉である確率を求めよ。$$\frac{?
最初は合計 $8$ 個玉があるが、$2$ 回目では $7$ 個、$3$ 回目では $6$ 個に減っていくことが予想できる。事象 $A$，$B$，$C$ を$$A:1回目で白玉を引く事象$$$$B:2回目で白玉を引く事象$$$$C:3回目で白玉を引く事象$$全事象が $A=\{2,4,6\}$ に変化し、それによって問われている事象が $A\cap B=\{4,6\}$ に変化していることがおわかりでしょうか。よって乗法定理より、求める確率は $\displaystyle\frac{5}{8}×\frac{4}{7}×\frac{3}{6}=\frac{5}{28}$ である。ここで、条件付き確率の公式より、$$P_E(A)=\frac{P(E\cap A)}{P(E)}$$というか、条件付き確率は感覚的にすぐ求められる場合がほとんどです。これから問題を解いていくことで実感しますが、条件付き確率を直接求める問題はあまり出題されません。ⅰ）ⅱ）それぞれに乗法定理を使ってあげることで、結果Ｂさんが当たる確率も $\displaystyle \frac{3}{10}$ になりましたね！実は、(1)(2)で計算したことを合わせると、そっくりそのままベイズの定理になるのですが…これ以上は発展のお話ですね。の $2$ 通りが考えられ、それぞれの事象は互いに排反であるので、$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)$ と表すことができる。よって本記事では、条件付き確率の公式の意味から、条件付き確率の問題 $4$ 選の解き方までただ、テストでいきなり「平等だから $\displaystyle \frac{3}{10}$ 」と書くと、間違いなく減点を食らいますので、あくまで検算用として覚えておくといいかと思いますよ＾＾残り $9$ 本中、当たりは $2$ 本だから、$\displaystyle P_A(B)=\frac{2}{9}$ である。さて、(1)の確率はふつうに $\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ となりますが、(2)の確率はどうでしょう。このように、事象が $3$ つ以上の場合であっても、乗法定理は問題なく成り立ちます。今は要素の個数 $n(A)$ の式を使って解きましたが、分母と分子を $n(U)$ で割ってあげても値は変わらないので、さて、Ｂさんが当たる確率は、Ａさんが何を引くかで確率が変わってきそうです…。時間に逆行する原因の確率（ベイズの定理）もあわせて勉強しておくと、より深い学びになると思います。残り $9$ 本中、当たりは $3$ 本だから、$\displaystyle P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{9}$ である。したがって、ⅰ）ⅱ）の事象は互いに排反なので、求める確率は $\displaystyle \frac{6+21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}$ である。したがって、求める確率は $\displaystyle P_E(A)=\frac{2}{500}÷\frac{2}{125}=\frac{2}{500}×\frac{125}{2}=\frac{1}{4}$ である。(2)で、久しぶりに「条件付き確率の公式」にお目にかかりましたね。(笑)と定義することで、$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P_A(B)P_{A\cap B}(C)$$として乗法定理を使っています。よって、(2)の確率は、$\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}$ となります。 今回は、中学・高校数学で学習するレベルの確率から 『くじ引きの確率』 について解説していきます。 取り上げるの次の問題 ~くじを戻さない~ 当たりくじを3本含む10本のくじがある。このくじをA、Bの2人が順に1本ずつ引く。 くじを元に戻さない場合でやったように、Bが当たるというのは . これは取り出し口が小さくて、 欲張った猿が箱の中で握ったバナナを離さず手が抜けない、 というバカな話ではありません。考え方の問題ですが、 ２つの玉を取り出したとき全く同時というのはあり得るのでしょうか。 １つ取り出して、２つ目を取り出す時間差というものを考えたとき、 どれだけ空いていれば同時ではなくなるのでしょう？１秒？１０ …
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