2、主成分分析の 簡単なお話 22. 要約の手法は複数の変数を新しい変数に要約する、すなわち多くの変数を少ない変数で説明する手法です。類似関係明確化の手法ともいわれます。少ない変数が、変数の背後にある原因となっている要因であることもあります。例えば、算数、理科、国語、社会の4科目のテスト結果から、算数と理科は似ている、国語と社会は似ているということがわかればそれぞれをまとめ、その背後に理系の能力と文系の能力があるというように、4科目を2つの能力に要約したことになります。今まで4教科のテストをやっていたものを、理系のテストと文系のテストに集約することが可能になるわけです。最適な商品コンセプトを決定するための代表的な多変量解析を用いた分析方法で、個別の要素を評価するのではなく、商品全体の評価（全体効用値）することで、個々の要素の購買に影響する度合い（部分効用値）を算出する手法です。例えば、画面サイズが1インチ大きかったらいくら高く売れるかがわかります。予測の手法では、変数を目的変数と説明変数に分けなくてはいけません。図9の例では、体重を目的変数として、身長と腹囲と胸囲を説明変数にすることもできますし、図10のように体重と腹囲を目的変数として、身長と食生活と運動を説明変数にすることできるわけです。つまり同じ変数でも、目的変数にも説明変数にもなり得るということです。評価の対象の類似性を距離とし、多次元空間の点として視覚的に配置します。例えば、全世界の都市間の飛行機での所要時間（距離が近いほど時間が短いとして）だけから世界地図を作ることができます。マーケティングではブランド間の類似性を質問するだけでポジショニングマップを作ることができます。基本的な目的や考え方は重回帰分析と同じですが、重回帰分析の説明変数が数値ではない場合に用いる手法です。質的変数を1/0データに変換することで、量的データを予測できます。例えば、お酒を飲む/飲まない、性別などを1/0で表し、肺がんになる「確率」を予測することができます。判別分析と同様にグループの境界線を求める手法ですが、質的なデータを説明変数にする場合に用いられます。男/女、年代、喫煙の有/無などから、肺がんに「なる/ならない」の予測をします。判別分析と同様に、量的変数から質的変数を予測しますが、予測する変数の値（1か0かなど）を予測するのではなく、目的変数が1となる確率を予測します。目的変数として、DMに対して（反応する/反応しない）の1/0データがあり、それをいくつかの量的説明変数で予測をしようとする場合、どの顧客がどの程度の確率で反応するかという予測ができます。この相関関係をもとに、以下のようなポジショニングマップを作ったり、クラスタリングをしたりすることができます。クラスタリングに関しては後で詳しく述べますが、これが類似関係化の明確化です。様々な特性をもつ対象を類似性の指標を元にグルーピングする手法で、大別すると階層的手法と非階層的手法の２種類があります。類似度の決定やグルーピングには様々な手法やパラメータがあり、どれを選択するかによって結果が異なります。非階層クラスターはあらかじめクラスタ数を決める必要があるので、クラスター数の決定には注意が必要です。階層クラスターはあらかじめクラスター数を決めておく必要がなく、好きな数に分けることができますが、対象が多い時には向いていません。１つの目的変数を１つの説明変数で予測する最も簡単な分析手法です。例えば身長から体重を予測します。このとき、予測に使う身長を「説明変数」、予測される体重を「目的変数」といいます。相関係数は、この単回帰分析の予測の精度を表しています。複雑な現象を、背後に潜む原因を探って理解するための手法です。多くの説明変数に存在する共通因子を探り、特定します。具体的には潜在ニーズを探ったり、商品イメージを分析する際などに用いられる手法です。例えば、数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、物理、化学の成績がよいのは、理系の能力があるからだと理解するようなものです。主成分分析とは対極にあたる位置づけです。では、要約ではなく類似性を考えてみましょう。8つの要因は、それぞれの相関関係を見る（相関行列を作る）ことによって、どの要因とどの要因が関連が強いかということがわかります。主成分分析と同じ目的で使う手法で、多くの変数を要約します。変数が1/0データの場合は数量化Ⅲ類と言われ、クロス集計表などの量的データの場合はコレスポンデンス分析、対応分析などといわれますが、基本的なロジックは同じです。各変数を１次元にマッピングし視覚化できるので、商品とユーザー属性を同時にプロットすることができます。Copyright (C) ALBERT Inc. All Rights Reserved.数量化Ⅰ類との逆で、量的変数から質的変数を予測します。たとえば、体重や血圧、肝臓の検査結果の数値から、脳卒中に「なる/ならない」を予測します。あるグループに境界線を引くことで、購入/非購入などの判別をします。判別関数を求めることで、結果への影響変数を見つけ、その対策を行うことができます。多くの量的説明変数をより少ない指標（合成変数）に要約しようとする手法です。例えば、ある学校で20科目くらいあるテスト結果を分析したとすると、第1主成分に総合成績が得られ、第2主成分に理系科目/文系科目という軸が現れます。各学生を総合成績がどのくらいで、理系文系のどちらに偏っているかという2つの軸で表し、平面上にマッピングすることができます。科目のマッピングも可能です。変数には質的変数と量的変数があり、多変量解析の目的には、予測と要約があるということを述べてきました。多変量解析には、様々な手法がありますが、この変数の種類と目的の組み合わせで、どの手法を使うかが決まります。具体的な例も示しました。１つの目的変数を複数の説明変数（数値）で予測する分析手法です。例えば身長と腹囲と胸囲から体重を予測します。世の中の事象は、複数の要因によって決まることがほとんどです。どの要因がどの程度影響しているのかが算出し、結果を予測することができます。また、その予測の精度を知ることもできます。予測の手法には目的変数があったのに対し、要約の手法には目的変数という概念はありませんが、因果関係が明らかになれば、説明変数と目的変数に分けられることもあります。多変量解析を行なう目的としては、大きく分けて「予測」と「要約」の2つがあります。たとえば広告クリエイティブの最適化は、複数のコンテンツの組み合わせパターンからクリック率を予測するモデルを使っています。購買データから顧客をいくつかのクラスターに分類するには、要約の手法を使っています。 多変量解析（たへんりょうかいせき、英: multivariate analysis）や多変量統計（たへんりょうとうけい、英: multivariate statistics）とは、統計学において、複数の独立変数（説明変数）からなる多変量データを統計的に扱う手法。主成分分析、因子分析、クラスター分析などがある。一般に、多変量解析を行うためには計算負荷が高く手計算ではきわめて困難だが、コンピュータの発展により、容易に実行できるようになった。
主成分分析とは 主成分分析 多 次元 ... 参考：奥野忠一著「多変量解析法改訂版」日科技連 因子負荷量が1か-1に近い因子ほど、主成分に強く寄与している 因子負荷量をプロットすることにより、 主成分に寄与している因子を視覚的に捉えることができる. 多変量解析の意味、PCA（主成分分析）とPLS（部分的最小二乗法）の違いをわかりやすく説明する . punhundon 2019年8月24日 / 2020年6月27日. データは UC Irvine Machine Learning Repository から取得したものを少し改変しました。https://raw.githubusercontent.com/maskot1977/ipython_notebook/master/toydata/wine.txt
PLSとは、説明変数たちを加工して、最も「目的変数の違いをはっきり表せる」変数を作り出す方法でした。という比率で構成されていることがわかったら、「原料の純度、成形機の設定温度、トルクあたりに着目すると、データ間の違いがはっきり見えてくるな。」と考察できます。データの分布を可視化して、いくつかのグループに分類されそうだというのが見えてきたら、グループの境界を引くことができます。y = f(X) とし、製造ロットのデータの各変数を「説明変数X=[x1, x2, …, x10]」、知りたい変数（良品か不良品か）を「目的変数y」とします。説明変数がx1, x2, …とたくさんあるときに多変量解析を用います。・PCAやPLSで作り出した説明変数を主成分という。これを使ってデータの可視化、分類、回帰ができる。さらに、主成分にどんなエキスがどのくらい含まれているか（ローディング）を調べることもできる。これにより、どの変数が重要なのかを考察することができる。主成分が少なすぎると当てはまりが悪く、逆に主成分が多すぎると過学習を起こします。よって、いい感じのところを探ります。実際には、クロスバリデーションをして最適なnを決めます。少数の説明変数を新たに作る方法が、PCA（主成分分析）とPLS（部分的最小二乗法）です。説明変数が大幅に減ると分析がしやすくなります。説明変数が少ないとグラフが描けるようになり、直感的にデータを眺められるようになります。人への説明も容易になります。このような、データ間の違いをはっきり表せる説明変数を「主成分」と言います。これを繰り返して第n主成分まで作り出します。実際は第一主成分、第二主成分、第三主成分あたりまでを使うことが多いです。何を基準に分類するかがわかっていれば、PCAよりもPLSの方が分類精度が良いはずです。今回のように、「良品／不良品」で分類したいと分かっていれば、PLSがよいです。例えば、毎日製造している製品があって、時々不良が出ていて困っているとします。不良が出る原因を調べるために、各製造ロットのデータを分析することになりました。ポイントは、新たに説明変数を作るときに目的変数（良品か不良品か）の情報を一切使わないことです。さまざまな加工の仕方を試してみて、最も「データの違いをはっきり表せる」説明変数を作り出します。これを第一主成分といいます。また、ローディングを2乗したものを全て足し合わせると、1になります。ローディングベクトルの長さが1で、ローディングベクトルの向きは主成分軸の方向です。つまり、ローディングベクトル＝主成分軸の単位ベクトルです。・説明変数がめっちゃ多くてデータ解析しにくい…、じゃあ各説明変数のエキスをいい感じに濃縮した少数の説明変数を新たに作り出して、これでデータ分析をしようという方法がよく用いられる。次に、第一主成分と相関係数がゼロで、かつ第一主成分の次に「データの違いをはっきり表せる」説明変数を作り出します。これを第二主成分といいます。ちなみに、PCAの主成分を使った回帰をPCR、PLSの主成分を使った回帰を単にPLSと呼びます。PCAやPLSで新たに作り出した主成分を使うことで、データの分布を可視化できます。このように、主成分の構成に各説明変数がどのくらい盛り込まれているかを表すのがローディング（因子負荷量）です。厳密には、もともとのデータのうち第一主成分で説明できた分を取り除いた残差データに対して同じこと、つまり、最も「良品／不良品の違いをはっきり表せる」説明変数を作り出します。これを第二主成分とします。この繰り返しで第n主成分まで作り出します。簡単に言うと、多変量解析とは説明変数の多いデータを扱うことを言います。このようにして、良品／不良品の違いをうまく説明できそうな説明変数をいくつか作ります。多変量解析でよく検討されるのは、多数の説明変数をうまく加工して、新たな説明変数を作ることです。最も「データの目的変数の違いをはっきり表せる」説明変数を第一主成分といいます。例えば、横軸を第一主成分、縦軸を第二主成分にして全データをプロットして、データがどんな感じにプロットしているかがわかります。よって、PLSで作った主成分を使って回帰分析をするとPCRの場合よりもモデルの精度が上がります。という比率で構成されていることがわかったら、「原料の純度、成形機の設定温度、トルクあたりが不良率に強く影響してそうだ」と考察できます。そもそも多変量解析とは何なのでしょうか？そして、多変量解析の具体的な手法であるPCA（主成分分析）やPLSとはどんなものなのでしょうか？また、説明変数の数がデータの数よりも多いと、そもそも重回帰分析ができなくなります。結果的に、その2グループがそれぞれ目的変数の違いに対応する場合もあります。つまり、片方のグループが良品、もう片方のグループが不良品となるケースです。もちろん、目的変数と関係がないケースもあります。PCAやPLSだと、それぞれの主成分同士の相関係数がゼロになるように作られるため、この問題が起こりません。繰り返しになりますが、今ある多数の説明変数を加工して、分析に使えそうな少数の説明変数に変換し、データ分析をシンプルにするのが多変量解析です。上の例ですと、第一主成分を構成する説明変数のうち、原料の純度のローディングが大きいことが分かります（0.3）。PLSにおいても、試行錯誤ではなく数学的に解くことで主成分を算出できます。実際には、試行錯誤して各主成分を作るのではなく、固有値問題を解くことで数学的に求めることができます。第何主成分までを使うかは、重回帰モデルの汎化性能を見て決めます。バリデーションデータに対する精度が最も高くなるところにします。変数が2個だけですと2次元のグラフが描けます。変数が3個ですと3次元のグラフが描けます。変数が4以上になると、可視化がしんどくなります。3次元の世界に住んでいる以上、軸は3つ以上増やせませんので、プロットの色や形を変えて4つ目以降の変数を表現することになります。そうなるとグラフが複雑になりすぎて、パッと見わかりにくいです。次に、第一主成分と相関係数がゼロで、かつ第一主成分の次に「良品／不良品の違いをはっきり表せる」説明変数を作り出します。これを第二主成分といいます。PCAは、データの違いをはっきり表せる説明変数を生み出します。このあたりは数式を追って確認した方がイメージがわくかと思います。なお、重回帰分析では、使う主成分の数はデータの数より少なくする必要があります。主成分がデータの数より多いと、各重みwを求めることができなくなります。そこだけ要注意です。PCAは各データのXの違いを使いましたが、PLSではyの情報も使います。そして、新たな製造ロットのデータが得られたとき、どのグループに分類されるかを判定できるようになります。PLSという言葉はPLS回帰のことを指すことが多いため、分類問題でPLSを使う場合はPLS-DAと表現します。DAは判別分析（Discriminant Analysis）の略です。PLSは、データの目的変数の違いをはっきり表す説明変数を生み出します。変数が多すぎて、1つ1つを見ても良品／不良品を決めている要因はわかりません。品質管理やデータ分析に関わっていると、「多変量解析」という言葉に遭遇します。で定義される新しい説明変数を作り、この説明変数と目的変数（良品か不良品か）の関係を調べるというものです。これにより、もともとあった多数の説明変数ではなく、新たに作った数個の説明変数だけを使って不良品が出た原因を探ることができます。これまでの話は、目的変数が「良品か不良品か」という離散値でした。重回帰分析では、説明変数の数がデータの数より多いものには対応できません。PCRやPLSですと、使う主成分の数を調整できます（＝減らせます）。つまり、データの数が少なくても、回帰に使う主成分の数を減らすことで回帰問題が解けるようになります。説明変数の情報だけを使って、データ間の違いを際立たせています。重回帰分析では、説明変数間の相関係数が大きいとモデルが安定しづらくなります。つまり、モデルの作成に使うデータが変わるとおもみが大きくバラついてしまいます。これを多重共線性といいます。
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